Question

8．中心在原点的椭圆长轴右顶点为（2，0），直线y=x-1与椭圆相交于M，N两点，MN中点的横坐标为$\frac{2}{3}$，则此椭圆标准方程是（　　）

• A． $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{4}=1$
• B． $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$
• C． $\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$
• D． $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$

Answer 1

分析 先设出椭圆的方程，然后与直线方程联立方程组，经消元得二元一次方程，再根据韦达定理及MN的中点的横坐标为$\frac{2}{3}$，即得椭椭圆标准方程．

解答 解　设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），依题意a=2，
∴椭圆方程可以化为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
把直线y=x-1代入得（4+b²）x²-8x+4-4b²=0．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=$\frac{8}{4+{b}^{2}}$，
∵MN的中点的横坐标为$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{1}{2}×\frac{8}{4+{b}^{2}}=\frac{2}{3}$，解得b²=2．
∴椭圆的标准方程是：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
故选：D．

点评 本题考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆的简单性质，是中档题．