Question

20．已知函数f（x）是定义R上的偶函数，且以2为周期，则“f（x）为[0，1]上的增函数”是“f（x）为[3，4]上的减函数”（　　）

• A． 既不充分也不必要条件
• B． 充分非必要条件
• C． 必要非充分条件
• D． 充要条件

Answer 1

分析 由题意，可由函数的性质得出f（x）为[-1，0]上是减函数，再由函数的周期性即可得出f（x）为[3，4]上的减函数，由此证明充分性，再由f（x）为[3，4]上的减函数结合周期性即可得出f（x）为[-1，0]上是减函数，再由函数是偶函数即可得出f（x）为[0，1]上的增函数，由此证明必要性，即可得出正确选项

解答 解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，
∴若f（x）为[0，1]上的增函数，则f（x）为[-1，0]上是减函数，
又∵f（x）是定义在R上的以2为周期的函数，且[3，4]与[-1，0]相差两个周期，
∴两区间上的单调性一致，所以可以得出f（x）为[3，4]上的减函数，故充分性成立．
若f（x）为[3，4]上的减函数，同样由函数周期性可得出f（x）为[-1，0]上是减函数，再由函数是偶函数可得出f（x）为[0，1]上的增函数，故必要性成立．
综上，“f（x）为[0，1]上的增函数”是“f（x）为[3，4]上的减函数”的充要条件．
故选D．

点评 本题考查充分性与必要性的判断，解题的关键是理解充分性与必要性证明的方向，即由哪个条件到哪个条件的证明是充分性，哪个方向是必要性，初学者易搞不清证明的方向导致表述上出现逻辑错误．