Question

19．双曲线$\frac{y^2}{64}-\frac{x^2}{36}=1$上一点P到它的一个焦点的距离等于3，那么点P与两个焦点所构成的三角形的周长等于42．

Answer 1

分析 根据题意，由双曲线的标准方程，求出双曲线的a，b，c，再确定P的位置为上支上一点，再由双曲线的定义，即可得到所求的周长．

解答 解：根据题意，双曲线的方程为：$\frac{y^2}{64}-\frac{x^2}{36}=1$，
其焦点在y轴上，且a=8，b=6，c=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，
设P到它的上焦点F的距离等于3，
由于3＞c-a=2，3＜c+a=18，则P为上支上一点，
则由双曲线的定义可得PF'-PF=2a=16，（F'为下焦点）．
则有PF'=19．
则点P与两个焦点所构成三角形的周长为PF+PF'+FF'=3+19+20=42；
故答案为：42．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查运算能力，注意要先确定点P的位置．