Question

14．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB，M，N，P分别为AB，A₁C₁，BC的中点．
求证：（1）C₁P∥平面MNC；
          （2）平面MNC⊥平面ABB₁A₁．

Answer 1

分析 （1）连接MP，只需证明四边形MPC₁N是平行四边形，即可得MN∥C₁P∵C₁P，即可证得C₁P∥平面MNC；
（2）只需证明CM⊥平面MNC，即可得平面MNC⊥平面ABB₁A₁．

解答 证明：（1）连接MP，因为M、P分别为AB，BC的中点
∵MP∥AC，MP=$\frac{1}{2}AC$，
又因为在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∴AC∥A₁C₁，AC=A₁C₁
且N是A₁C₁的中点，∴MP∥C₁N，MP=C₁N
∴四边形MPC₁N是平行四边形，∴C₁P∥MN
∵C₁P?面MNC，MN?面MNC，∴C₁P∥平面MNC；
（2）在△ABC中，CA=CB，M为AB的中点，∴CM⊥AB．
在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，B₁B⊥面ABC．
∵CM?面ABC，∴BB₁⊥CM
由因为BB₁∩AB=B，BB₁，AB?平面面ABB₁A₁
又CM?平面MNC，
∴平面MNC⊥平面ABB₁A₁．

点评 本题考查了线面平行、面面垂直的判定，属于中档题．