Question

15．已知椭圆方程$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$右焦点F、斜率为k的直线l交椭圆于P、Q两点．
（1）求椭圆的两个焦点和短轴的两个端点构成的四边形的面积；
（2）当直线l的斜率为1时，求△POQ的面积；
（3）在线段OF上是否存在点M（m，0），使得以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意方程求出b，c的值，代入菱形面积公式得答案；
（2）右焦点F（1，0），直线l的方程为y=x-1．设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由题设条件得y₁=-1，${y}_{2}=\frac{1}{3}$．由此可求出△POQ的面积；
（3）假设在线段OF上存在点M（m，0）（0＜m＜1），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形．因为直线与x轴不垂直，设直线l的方程为y=k（x-1）（k≠0）．由题意知（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．由此可知0＜m＜$\frac{1}{2}$．

解答 解：（1）由椭圆方程$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，得
a²=2，b²=1，则c²=a²-b²=1，
∴椭圆的两个焦点和短轴的两个端点构成的四边形的面积S=$\frac{1}{2}×2b×2c=\frac{1}{2}×2×2=2$；
（2）右焦点F（1，0），直线l的方程为y=x-1．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，得3y²+2y-1=0，解得${y}_{1}=-1，{y}_{2}=\frac{1}{3}$．
∴${S}_{△POQ}=\frac{1}{2}$|OF|•|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}$|y₁-y₂|=$\frac{2}{3}$；
（3）假设在线段OF上存在点M（m，0）（0＜m＜1），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形．
∵直线与x轴不垂直，∴设直线l的方程为y=k（x-1）（k≠0）．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}}{1+{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
$\overrightarrow{MP}=（{x}_{1}-m，{y}_{1}）$，$\overrightarrow{MQ}=（{x}_{2}-m，{y}_{2}）$，
$\overrightarrow{PQ}=（{x}_{2}-{x}_{1}，{y}_{2}-{y}_{1}）$，（x₂-x₁≠0），
若以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形，则（$\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{MQ}$）⊥$\overrightarrow{PQ}$，
得，（$\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{MQ}$）•$\overrightarrow{PQ}$=0，
即（x₁+x₂-2m，y₁+y₂）（x₂-x₁，y₂-y₁）=0，
∴（x₁+x₂-2m）（x₂-x₁）+（y₁+y₂）（y₂-y₁）=0，则（x₁+x₂-2m）+k（y₁+y₂）=0，
∴（$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$-2m）+k²（$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$-2）=0，得2k²-（2+4k²）m=0，解得m=$\frac{{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$（k≠0）．
∴0＜m＜$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，考查计算能力，是中档题．