Question

13．已知函数f（x）是R上的增函数，
（Ⅰ）若a，b∈R，且a+b≥0，求证f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）
（Ⅱ）写出（1）中命题的逆命题，判断其真假并证明你的结论．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知条件推出f（a）≥f（-b），f（b）≥f（-a） 然后推出f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）．
（Ⅱ）写出逆命题，判断该命题是真命题，用反证法证明：假设a+b＜0，则a＜-b，b＜-a，推出f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b）与已知f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）矛盾，得到结果．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）因为a+b≥0，∴a≥-b，
又函数f（x）是R上的增函数，∴f（a）≥f（-b）…（2分）
同理f（b）≥f（-a）   …（3分）
所以f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b） …（5分）
（Ⅱ）逆命题是：
“已知函数f（x）是R上的增函数，若f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），则a+b≥0”…（7分）
该命题是真命题．…（8分）
用反证法证明如下：
假设a+b＜0，则a＜-b，b＜-a，
由函数f（x）是R上的增函数得：f（a）＜f（-b），f（b）＜f（-a），
∴f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b）
…（10分）这与已知f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）矛盾 …（11分）
所以逆命题为真命题．  …（12分）

点评 本题考查函数的单调性的应用，命题的真假的判断与应用，不等式的证明，反证法的应用，考查分析问题解决问题的能力．