Question

18．已知数列{a_n}满足：${a_1}=\frac{1}{2}，{a_1}+{a_2}+…+{a_n}={n^2}{a_n}（n∈{N^*}）$
（1）求a₂，a₃；
（2）猜想{a_n}通项公式并加以证明．

Answer 1

分析 （1）数列{a_n}满足：${a_1}=\frac{1}{2}，{a_1}+{a_2}+…+{a_n}={n^2}{a_n}（n∈{N^*}）$，n=2时，$\frac{1}{2}+{a}_{2}$=2²a₂，可得a₂=$\frac{1}{6}$，n=3时，$\frac{1}{2}+\frac{1}{6}$+a₃=9a₃，解得a₃．
（2）猜想a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$．利用递推关系化为：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n-1}{n+1}$．再利用a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$$•\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•a₁即可得出．

解答 解：（1）数列{a_n}满足：${a_1}=\frac{1}{2}，{a_1}+{a_2}+…+{a_n}={n^2}{a_n}（n∈{N^*}）$，
∴n=2时，$\frac{1}{2}+{a}_{2}$=2²a₂，可得a₂=$\frac{1}{6}$，
∴n=3时，$\frac{1}{2}+\frac{1}{6}$+a₃=9a₃，解得a₃=$\frac{1}{12}$．
（2）猜想a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$．
证明：∵${a_1}=\frac{1}{2}，{a_1}+{a_2}+…+{a_n}={n^2}{a_n}（n∈{N^*}）$，
∴n≥2时，a₁+a₂+…+a_n-1=（n-1）²a_n-1．
∴n²a_n-（n-1）²a_n-1=a_n．
化为：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n-1}{n+1}$．
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$$•\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•a₁
=$\frac{n-1}{n+1}$•$\frac{n-2}{n}$•$\frac{n-3}{n-1}$•…×$\frac{2}{4}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$
=$\frac{1}{n（n+1）}$．

点评 本题考查了数列递推关系、“累乘求积”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．