Question

12．已知函数F（x）=lnx（x＞1）的图象与函数G（x）的图象关于直线y=x对称，若函数f（x）=（k-1）x-G（-x）无零点，则实数k的取值范围是（　　）

• A． （1-e，1）
• B． （1-e，∞）
• C． （1-e，1]
• D． （-∞，1-e）∪[1，+∞）

Answer 1

分析 求出函数G（-x）的解析式，利用函数f（x）=（k-1）x-G（-x）无零点，得到两个函数的图象没有公共点，转化求解即可．

解答 解：函数F（x）=lnx（x＞1）的图象与函数G（x）的图象关于直线y=x对称，
可得G（x）=e^x，（x＞0），
则G（-x）=e^-x，（x＜0），
函数f（x）=（k-1）x-G（-x）无零点，
即f（x）=（k-1）x-e^-x，没有零点，也就是y=（k-1）x，与y=e^-x，（x＜0），
没有公共点．
y′=-e^-x，设切点坐标为：（m，e^-m），
可得：k-1=-e^-m=$\frac{{e}^{-m}}{m}$，解得m=-1，
此时k=1-e，
函数f（x）=（k-1）x-G（-x）无零点，则k＞1-e．
故选：B．

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的零点以及方程根的关系，考查数形结合以及转化思想的应用．