Question

2．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{-2，0＜x＜1}\\{1，x≥1}\end{array}\right.$则不等式$lo{g}_{2}x-（lo{g}_{\frac{1}{4}}4x-1）f（lo{g}_{3}x+1）≤5$的解集为（　　）

• A． （$\frac{1}{3}$，1）
• B． [1，4]
• C． （$\frac{1}{3}$，4]
• D． [1，+∞）

Answer 1

分析 不等式$lo{g}_{2}x-（lo{g}_{\frac{1}{4}}4x-1）f（lo{g}_{3}x+1）≤5$?$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{3}x+1≥1}\\{lo{g}_{2}x-（lo{g}_{\frac{1}{4}}4x-1）≤5}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{0＜lo{g}_{3}x+1＜1}\\{lo{g}_{2}x+2（lo{g}_{\frac{1}{4}}4x-1）≤5}\end{array}\right.$，解出即可得出．

解答 解：不等式$lo{g}_{2}x-（lo{g}_{\frac{1}{4}}4x-1）f（lo{g}_{3}x+1）≤5$?$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{3}x+1≥1}\\{lo{g}_{2}x-（lo{g}_{\frac{1}{4}}4x-1）≤5}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{0＜lo{g}_{3}x+1＜1}\\{lo{g}_{2}x+2（lo{g}_{\frac{1}{4}}4x-1）≤5}\end{array}\right.$，
解得1≤x≤4，或$\frac{1}{3}＜x＜1$，
∴原不等式的解集为$（\frac{1}{3}，4]$．
故选：C．

点评 本题考查了分段函数的性质、对数函数的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．