Question

14．已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，当n≥2时，（a_n-S_n-1）²=S_nS_n-1，且a₁=1，设b${\;}_{n}=lo{g}_{2}\frac{{a}_{n+1}}{6}$，则b₁+b₂+…+b₁₀等于（　　）

• A． 64
• B． 72
• C． 80
• D． 90

Answer 1

分析 把已知数列递推式变形可得S_n=4S_n-1 （n≥2）．则数列{S_n}是以S₁=1为首项，以4为公比的等比数列，求出${S}_{n}={4}^{n-1}$，则数列{a_n}的通项公式可求，代入${b}_{n}=lo{g}_{2}\frac{{a}_{n+1}}{6}$，由对数的运算性质求解．

解答 解：由（a_n-S_n-1）²=S_nS_n-1，得（S_n-2S_n-1）²=S_nS_n-1，即${{S}_{n}}^{2}-5{S}_{n}{S}_{n-1}+4{{S}_{n-1}}^{2}=0$，
解得：S_n=S_n-1（舍），或S_n=4S_n-1 （n≥2）．
则数列{S_n}是以S₁=1为首项，以4为公比的等比数列，
∴${S}_{n}={4}^{n-1}$，则${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}={4}^{n-1}-{4}^{n-2}=3•{4}^{n-2}$（n≥2）．
a₁=1不适合上式，
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{3•{4}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．
又${b}_{n}=lo{g}_{2}\frac{{a}_{n+1}}{6}$，
∴b₁+b₂+…+b₁₀ =$lo{g}_{2}\frac{3•{4}^{0}}{6}+lo{g}_{2}\frac{3•{4}^{1}}{6}+…+lo{g}_{2}\frac{3•{4}^{9}}{6}$=$lo{g}_{2}{2}^{80}=80$．
故选：C．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，考查对数的运算性质，是中档题．