Question

7．已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，圆C的极坐标是ρ=2asinθ，直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{5}t+a}\\{y=\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$（t为参数）．
（1）若a=2，M为直线l与x轴的交点，N是圆C上一动点，求|MN|的最大值；
（2）若直线l被圆C截得的弦长为$2\sqrt{6}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{5}t+a}\\{y=\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$，a=2时，化为普通方程：$y=-\frac{4}{3}$（x-2）．可得M（2，0）．圆C的极坐标是ρ=2asinθ，即ρ²=4ρsinθ，利用互化公式可得直角坐标方程，求出|MC|=2$\sqrt{2}$，可得|MN|的最大值为2$\sqrt{2}$+r．
（2）圆C的方程为：x²+（y-a）²=a²，直线l的方程为：4x+3y-4a=0，利用点到直线的距离公式与弦长公式即可得出．

解答 解：（1）直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{5}t+a}\\{y=\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$，a=2时，化为普通方程：$y=-\frac{4}{3}$（x-2）．令y=0，解得x=2，可得M（2，0）．圆C的极坐标是ρ=2asinθ，即ρ²=4ρsinθ，可得直角坐标方程：x²+y²-4y=0，即x²+（y-2）²=4．
|MC|=2$\sqrt{2}$，∴|MN|的最大值为2$\sqrt{2}$+2．
（2）圆C的方程为：x²+（y-a）²=a²，直线l的方程为：4x+3y-4a=0，
圆心C到直线l的距离d=$\frac{|3a-4a|}{5}$=$\frac{|a|}{5}$．
∴$2\sqrt{{a}^{2}-\frac{{a}^{2}}{25}}$=2$\sqrt{6}$，解得a=$±\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．