Question

17．已知|a_n|是递增的等差数列，a₁，a₂是函数f（x）=x²-10x+21的两个零点．
（1）求数列|a_n|的通项公式；
（2）记b_n=a_n×3ⁿ，求数列|b_n|的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）求出函数的零点，得到数列的第一项与第三项，求出公差，然后求解通项公式．
（2）利用错位相减法求解数列的或即可．

解答 解：（1）函数f（x）=x²-10x+21的两个零点为3，7，
由题意得a₁=3，a₃=7．
设数列的公差为：d，则2d=4，d=2，数列{a_n}的通项公式：a_n=2n+1．
（2）b_n=a_n×3ⁿ=（2n+1）×3ⁿ，可得${S_n}=3×3+5×{3^2}+…+（{2n-1}）×{3^{n-1}}+（{2n+1}）×{3^n}$，$3{S_n}=3×{3^2}+5×{3^3}+…+（{2n-1}）×{3^n}+（{2n+1}）×{3^{n+1}}$，
两式相减得$-2{S_n}=9+2×（{{3^2}+{3^3}+…+{3^n}}）-（{2n+1}）×{3^{n+1}}=9+（{{3^{n+1}}-9}）-（{2n+1}）×{3^{n+1}}$，
所以${S_n}=n×{3^{n+1}}$．

点评 本题考查数列的通项公式以及数列求和，考查计算能力以及转化思想的应用．