Question

10．已知函数f（x）=ax-lnx，函数g（x）=$\frac{1}{3}b{x}^{3}$-bx，a∈R，b∈R且b≠0．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若a=1，且对任意的x₁（1，2），总存在x₂∈（1，2），使f（x₁）+g（x₂）=0成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先确定函数f（x）的定义域，然后对函数f（x）求导，根据导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减求出单调区间．
（2）分别表示出函数h（x）=-f（x）、g（x）的值域，根据f（x）的值域应为g（x）的值域的子集可得答案．

解答 解：（1）f（x）=lnx-ax，
∴x＞0，即函数f（x）的定义域为（0，+∞）
∴当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数
当a＞0时，∵f'（x）=$\frac{1}{x}$-a=$\frac{1-ax}{x}$，
∵f′（x）＞0，则1-ax＞0，ax＜1，x＜$\frac{1}{a}$，f′（x）＜0，则1-ax＜0，ax＞1，
x＞$\frac{1}{a}$即当a＞0时f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上是增函数，在（$\frac{1}{a}$，+∞）上是减函数．
（2）则由已知，对于任意的x₁∈（1，2），总存在x₂∈（1，2），
使-f（x₁）=g（x₂），
设h（x）=-f（x）在（1，2）的值域为A，g（x）在（1，2）的值域为B，
得A⊆B
由（1）知a=1时，h′（x）=$\frac{1-x}{x}$＜0在（1，2）1上是减函数，
∴h（x）在x∈（1，2）上单调递减，
∴h（x）的值域为A=（ln2-2，-1）
∵g'（x）=bx²-b=b（x-1）（x+1）
∴（i）当b＜0时，g（x）在（1，2）上是减函数，
此时，g（x）的值域为B=（$\frac{2}{3}$b，-$\frac{2}{3}$b）
为满足A⊆B，又-$\frac{2}{3}$b≥0＞-1
∴$\frac{2}{3}$b≤ln2-2．即b≤$\frac{3}{2}$ln2-3．
（ii）当b＞0时，g（x）在（1，2）上是单调递增函数，
此时，g（x）的值域为B=（-$\frac{2}{3}$b，$\frac{2}{3}$b）
为满足A⊆B，又$\frac{2}{3}$b≥0＞-1．
∴-$\frac{2}{3}$b≤ln2-2
∴b≥-$\frac{3}{2}$（ln2-2）=3-$\frac{3}{2}$ln2，
综上可知b的取值范围是（-∞，$\frac{3}{2}$ln2-3]∪[3-$\frac{3}{2}$ln2，+∞）．

点评 本题主要考查函数单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．