Question

20．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1-3a_n=1．
（1）证明：$\{{a_n}+\frac{1}{2}\}$是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=2na_n+n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由已知数列递推式可得${a_{n+1}}+\frac{1}{2}=3（{a_n}+\frac{1}{2}）$，进一步得到$\left\{{{a_n}+\frac{1}{2}}\right\}$是首项为$\frac{3}{2}$，公比为3的等比数列．求出等比数列的通项公式，可得{a_n}的通项公式；
（2）把{a_n}的通项公式代入b_n=2na_n+n，利用错位相减法求数列{b_n}的前n项和S_n．

解答 证明：（1）由a_n+1-3a_n=1，得a_n+1=3a_n+1，得${a_{n+1}}+\frac{1}{2}=3（{a_n}+\frac{1}{2}）$，
又${a_1}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$≠0，
∴$\left\{{{a_n}+\frac{1}{2}}\right\}$是首项为$\frac{3}{2}$，公比为3的等比数列．
∴${a_n}+\frac{1}{2}=\frac{3^n}{2}$，则${a}_{n}=\frac{{3}^{n}-1}{2}$．
因此{a_n}的通项公式为${a_n}=\frac{{{3^n}-1}}{2}$；
解：（2）由（1）得${a_n}=\frac{{{3^n}-1}}{2}$，
∴b_n=2na_n+n=n•3ⁿ．
S_n=1•3¹+2•3²+3•3³+…+n•3ⁿ，①
3S_n=1•3²+2•3³+…+（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹．②
①-②得-2S_n=3¹+3²+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹
=$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$-n•3ⁿ⁺¹=$\frac{{3}^{n+1}-3}{2}-n•{3}^{n+1}$．
∴S_n=$\frac{（2n-1）•{3}^{n+1}+3}{4}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．