Question

15．如图，在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，$B=\frac{π}{3}$，a=2．
（Ⅰ）若$A=\frac{π}{4}$，求c；
（Ⅱ）若△ABC的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，求b．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用内角和求出角C，再求出sinC，由正弦定理求出c的值；
（Ⅱ）根据三角形的面积公式求出c的值，再由余弦定理求出b的值．

解答 解：（Ⅰ）△ABC中，$B=\frac{π}{3}$，$A=\frac{π}{4}$，
∴$C=π-\frac{π}{3}-\frac{π}{4}=\frac{5π}{12}$，…（1分）
$sinC=sin\frac{5π}{12}=sin（\frac{π}{6}+\frac{π}{4}）=\frac{1}{2}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\frac{{\sqrt{2}+\sqrt{6}}}{4}$；…（3分）
由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，…（4分）
得$\frac{2}{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}=\frac{c}{{\frac{{\sqrt{2}+\sqrt{6}}}{4}}}$；…（5分）
解得$c=1+\sqrt{3}$；…（6分）
（Ⅱ）△ABC的面积为$S=\frac{1}{2}acsinB=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，…（7分）
即$\frac{1}{2}×2×c×sin\frac{π}{3}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，…（8分）
解得c=3，…（9分）
由余弦定理得，b²=a²+c²-2accosB…（10分）
=$4+9-2×2×3×\frac{1}{2}=7$，…（11分）
解得$b=\sqrt{7}$．…（12分）

点评 本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了三角形内角和与两角和的正弦公式，是基础题目．