Question

13．（1）证明：若实数a，b，c成等比数列，n为正整数，则aⁿ，bⁿ，cⁿ也成等比数列；
（2）设z₁，z₂均为复数，若z₁=1+i，z₂=2-i，则$|{{z_1}•{z_2}}|=\sqrt{2}×\sqrt{5}=\sqrt{10}$；若z₁=3-4i，z₂=4+3i，则|z₁•z₂|=5×5=25；若${z_1}=\frac{1}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，${z_2}=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}i$，则|z₁•z₂|=1×1=1．通过这三个小结论，请归纳出一个结论，并加以证明．

Answer 1

分析 （1）利用等比数列的定义证明即可；
（2）利用复数的运算法则，即可得出．

解答 （1）证明：∵a，b，c成等比数列，∴b²=ac，
∴aⁿ•cⁿ=（ac）ⁿ=（b²）ⁿ=（bⁿ）²，∴aⁿ，bⁿ，cⁿ也成等比数列．…（4分）
（2）解：归纳得到的结论为|z₁•z₂|=|z₁|•|z₂|．…（7分）
下面给出证明：设z₁=a+bi，z₂=c+di，则z₁•z₂=ac-bd+（ad+bc）i，
∴$|{{z_1}•{z_2}}|=\sqrt{{{（{ac-bd}）}^2}+{{（{ad+bc}）}^2}}=\sqrt{{a^2}{c^2}+{b^2}{d^2}+{a^2}{d^2}+{b^2}{c^2}}$，
又$|{z_1}|•|{z_2}|=\sqrt{{a^2}+{b^2}}\sqrt{{c^2}+{d^2}}=\sqrt{{a^2}{c^2}+{a^2}{d^2}+{b^2}{c^2}+{b^2}{d^2}}$，∴|z₁•z₂|=|z₁|•|z₂|．…（12分）

点评 本题考查等比数列的证明，考查类比推理，考查学生的计算能力，属于中档题．