Question

8．（ I）若直线l：（a+1）x+y+2-a=0（a∈R）的横截距是纵截距的2倍，求直线l的方程；
（ II）过点P（0，3）作直线l与圆C：x²+y²-2x-4y-6=0交于A，B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点），求直线l的方程．

Answer 1

分析 （ I）依题意，直线l的横、纵截距均存在，结合横截距是纵截距的2倍，求出a值，可得直线l的方程；
（ II）依题意，直线的斜率必存在，故可设直线l：y=kx+3，联立直线与圆C：x²+y²-2x-4y-6=0方程，由OA⊥OB结合韦达定理，可得k值，进而得到直线l的方程．

解答 解：（ I）依题意，直线l的横、纵截距均存在，
所以a≠-1，
∴令x=0，得直线l的纵截距y=a-2，
令y=0，得直线l的横截距$x=\frac{a-2}{a+1}$…（2分）
①当a=2时，直线l的横、纵截距均为0，满足横截距是纵截距的2倍，
此时，直线l过原点且方程为：3x+y=0…（3分）
②当a≠2时，直线l的横、纵截距均不为0∴依题意有：$\frac{a-2}{a+1}=2（a-2）$，
解得$a=-\frac{1}{2}$…（4分）∴此时直线l的方程为：x+2y+5=0…（5分）∴综上述，直线l的方程为：3x+y=0或x+2y+5=0…（6分）
（ II）依题意，直线的斜率必存在，故可设直线l：y=kx+3，
联立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+3\\{x^2}+{y^2}-2x-4y-6=0\end{array}\right.$，
消y得：（1+k²）x²+2（k-1）x-9=0，
∴△=4（k-1）²+36（1+k²）＞0恒成立，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则${x_1}+{x_2}=-\frac{2（k-1）}{{1+{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{-9}{{1+{k^2}}}$…（8分）
∴${y_1}{y_2}=（k{x_1}+3）（k{x_2}+3）={k^2}{x_1}{x_2}+3k（{x_1}+{x_2}）+9$，
又OA⊥OB，即$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=（{k^2}+1）{x_1}{x_2}+3k（{x_1}+{x_2}）+9=-\frac{6k（k-1）}{{1+{k^2}}}=0$…（10分）
∴k=0或k=1…（11分）
∴直线l的方程为：y=3或x-y+3=0．…（12分）

点评 本题考查的知识点是直线的方程，直线与圆的位置关系，向量的数量积公式，难度中档．