Question

3．已知圆C：x²+y²-2x+2y-4=0与斜率为1的直线l相交于不同的两点A、B．
（1）求直线l在y轴上的截距b的取值范围；
（2）是否存在直线l，使得以弦AB为直径的圆经过原点，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）圆与直线斜率为1相交于不同的两点A、B，设直线方程为y=x+b，联立方程组，消去y，△＞0可得b的取值范围
（2）弦AB为直径的圆经过原点，那么OA⊥OB，利用韦达定理和斜率关系求解．

解答 解：（1）圆与直线斜率为1相交于不同的两点A、B，设直线方程为y=x+b，
联立方程组：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-2x+2y-4=0}\\{y=x+b}\end{array}\right.$，消去y，可得：2x²+2（b+1）x+b²+4b-4=0
∵相交于不同的两点A、B，
∴△＞0，即4（b+1）²-8（b²+4b-4）＞0，
解得：$-3-3\sqrt{2}＜b＜-3+3\sqrt{2}$．
直线l在y轴上的截距b的取值范围是（$-3-3\sqrt{2}$，$-3+3\sqrt{2}$）．
（2）由题意：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
那么：x₁+x₂=-（b+1），${x}_{1}{x}_{2}=\frac{{b}^{2}+4b-4}{2}$
∴y₁y₂=（x₁+b）（x₂+b）=${x}_{1}{x}_{2}+（{x}_{1}+{x}_{2}）+{b}^{2}$=$\frac{{b}^{2}+2b-4}{2}$
假设存在直线l，使得以弦AB为直径的圆经过原点，那么OA⊥OB，即x₁x₂+y₁y₂=0
∴$\frac{{b}^{2}+2b-4}{2}$+$\frac{{b}^{2}+4b-4}{2}$=0
解得：b=1或b=-4
又∵$-3-3\sqrt{2}＜b＜-3+3\sqrt{2}$．
所以存在直线l：x-y+1=0或x-y-4=0满足题意．

点评 本题考查直线与圆的位置关系的运用能力，考查了韦达定理和斜率的运用．属于中档题．