Question

13．如图，正四棱锥P-ABCD中底面边长为2$\sqrt{2}$，侧棱PA与底面ABCD所成角的正切值为$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．
（1）求正四棱锥P-ABCD的外接球半径；
（2）若E是PB中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）连结AC，BD交于点O，连结PO，则PO⊥面ABCD，利用侧棱PA与底面ABCD所成角的正切值为$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，可得PO=$\sqrt{6}$，利用勾股定理建立方程，求出R；
（2）容易证明以EO$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}PD$．可得∠AEO就是异面直线PD与AE所成的角，在Rt△AOE中求解

解答 解：（1）连结AC，BD交于点O，连结PO，则PO⊥面ABCD，
∴∠PAO就是PA与底面ABCD所成的角，
∴tan∠PAO=$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．
又AB=2$\sqrt{2}$，则PO=AO•tan∠PAO=$\sqrt{6}$．
设F为外接球球心，连FA，
易知FA=FP，设FO=x，则
x²+4=（$\sqrt{6}$-x）²，
∴x=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴正四棱锥P-ABCD的外接球半径为$\frac{5\sqrt{6}}{6}$；
（2）连结EO，由于O为BD中点，E为PD中点，所以EO$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}PD$．
∴∠AEO就是异面直线PD与AE所成的角．
在Rt△POD中，$PD=\sqrt{O{D^2}+P{O^2}}=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$．
∴$EO=\frac{{\sqrt{5}}}{4}$．
由AO⊥BD，AO⊥PO可知AO⊥面PBD．
所以AO⊥EO，
在Rt△OAE中，tan∠AEO=$\frac{AO}{EO}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{5}}{4}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，
即异面直线PD与AE所成角的正切值为$\frac{{2\sqrt{10}}}{5}$．

点评 本题考查正四棱锥P-ABCD的外接球的表面积，考查学生的计算能力，正确求出正四棱锥P-ABCD的外接球的半径是关键．