Question

5．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sin2x-2sin²x+2，x∈R．
（ I）求函数f（x）的单调增区间以及对称中心；
（ II）若函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后，得到的函数g（x）的图象关于y轴对称，求实数m的最小值．

Answer 1

分析 （ I）先化简函数，再求函数f（x）的单调增区间以及对称中心；
（ II）求出g（x），利用函数g（x）的图象关于y轴对称，求实数m的最小值．

解答 解：（ I）∵f（x）=$\sqrt{3}$sin2x-2sin²x+2=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1           …（2分）
∴令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，
∴-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ，
∴函数的单调增区间为[-$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}$+kπ]，k∈Z          …（4分）
又令$2x+\frac{π}{6}=kπ，k∈Z$，解得$x=\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}，k∈Z$
∴函数的对称中心为$（\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}，1），k∈Z$…（6分）
（ II）若函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位，则得到的函数为$g（x）=2sin[2（x+m）+\frac{π}{6}]+1$
∴$g（x）=2sin（2x+2m+\frac{π}{6}）+1$…（8分）
又函数g（x）的图象关于y轴对称
∴当x=0时，函数g（x）取得最大或最小值
∴$2m+\frac{π}{6}=kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$
∴$m=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}，k∈Z$…（10分）
又m＞0
∴实数m的最小值为$\frac{π}{6}$．…（12分）

点评 本题考查三角函数的图象与性质，考查三角函数的化简，属于中档题．