Question

已知函数f（x）=

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x²-ax+（a-1）lnx，其中a＞1，讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析：由函数f（x）=

1

2

x²-ax+（a-1）lnx，其中a＞1，知f（x）的定义域为（0，8），f′（x）=

(x-1)[x-(a-1)]

x

，令f′（x）=0，得x₁=1，x₂=a-1．由实数a的取值范围进行分类讨论，能够求出f（x）的单调区间．

解答：解：∵函数f（x）=

1

2

x²-ax+（a-1）lnx，其中a＞1，
∴f（x）的定义域为（0，+∞），
f′(x)=x-a+

a-1

x

=

(x-1)(x+1-a)

x

=

(x-1)[x-(a-1)]

x

，
令f′（x）=0，得x₁=1，x₂=a-1．
①若a-1=1，即a=2时，f′(x)=

(x-1)2

x

＞0，
故f（x）在（0，+∞）单调递增．
②若0＜a-1＜1，即1＜a＜2时，
由f′（x）＜0得，a-1＜x＜1；
由f′（x）＞0得，0＜x＜a-1，或x＞1．
故f（x）在（a-1，1）单调递减，在（0，a-1），（1，+∞）单调递增．
③若a-1＞1，即a＞2时，
由f′（x）＜0得，1＜x＜a-1；由f′（x）＞0得，0＜x＜1，或x＞a-1．
故f（x）在（1，a-1）单调递减，在（0，1），（a-1，+∞）单调递增．
综上可得，当a=2时，f（x）在（0，+∞）单调递增；
当1＜a＜2时，f（x）在（a-1，1）单调递减，在（0，a-1），（1，+∞）单调递增；
当a＞2时，f（x）在（1，a-1）单调递减，在（0，1），（a-1，+∞）单调递增．

点评：本题考查函数的单调区间的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意导数的性质和分类讨论思想的灵活运用．