Question

已知实数a＞0 且函数f（x）=|x-2a|-|x+a|的值域为{y|-3a²≤y≤3a²
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若至少存在一个实数m使得f（m）-f（1-m）≤n 成立，求实数n的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）利用绝对值不等式得到函数的最大值和最小值；
（Ⅱ）利用函数的值域研究能成立的不等式问题，得到本题的结论．

解答： 解：（Ⅰ）∵|a-b|≥|a|-|b|，
∴|x-2a|-|x+a|=|2a-x|-|-x-a|≤|（2a-x）-（-x-a）|=|3a|．
∵实数a＞0，
∴-3a≤|x-2a|-|x+a|≤3a．
∵函数f（x）=|x-2a|-|x+a|的值域为{y|-3a²≤y≤3a²}，
∴

3a=3a2 -3a=-3a2

，
∴a=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=1，
∴f（x）=|x-2|-|x+1|，
∴h（m）=f（m）-f（1-m）=|m-2|-|m+1|-|（1-m）-1|+|（1-m）+1|
=2（|m-2|-|m+1|）≥-2|（m-2）-（m+1）|=-6．
∵至少存在一个实数m使得f（m）-f（1-m）≤n 成立，
∴n≥-6．

点评：本题考查的是绝对值不等式，解题的一个难点是对能成立的不等式的正确理解．本题有一定的思维难度，属于中档题．