Question

已知函数y=sin

x

2

+

3

cos

x

2

，x∈R．
（1）求该函数的周期；
（2）该函数的图象经过怎样的平移和伸缩变换可以得到y=sinx（x∈R）的图象．

Answer 1

分析：（1）利用两角和的正弦公式化简y=sin

x

2

+

3

cos

x

2

的解析式为2sin(

x

2

+

π

3

)，由此可得函数的周期．
（2）再根据函数y=Asin（ωx+φ）的周期性以及图象变换规律，得出结论．

解答：解：（1）由于y=sin

x

2

+

3

cos

x

2

=2sin(

x

2

+

π

3

)，…（2分）
可得该函数的周期为 T=

2π

1 2

=4π．…（4分）
（2）把函数y=2sin[

1

2

（x+

2π

3

）]的图象向右平移

2π

3

个单位可得函数y=2sin

1

2

x的图象，再把所得函数图象上的点的横坐标变为原来的

1

2

倍，
即可得到到y=2sinx（x∈R）的图象，再把这个新得的函数图象上点的纵坐标变为原来的

1

2

倍，即可得到y=sinx（x∈R）的图象．

点评：本题主要考查两角和差的正弦公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的周期性以及图象变换规律，属于中档题．