Question

5．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点P（1，$\frac{3}{2}$），左焦点F（-1，0）．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设椭圆左顶点为A，椭圆上的另一点为C（非右顶点），N为y轴上一点，若△ANC是以AC为斜边的等腰直角三角形，求点C的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据椭圆的性质列方程解出a²，b²；
（2）设C（2cosθ，$\sqrt{3}$sinθ），N（0，x），根据AN=CN，AN⊥CN列方程解出x即可．

解答 解：（1）∵椭圆E经过点P（1，$\frac{3}{2}$），且焦点为F（-1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}-{b}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=4}\\{{b}^{2}=3}\end{array}\right.$，
∴椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）A（-2，0），设C（2cosθ，$\sqrt{3}$sinθ），N（0，x），则sinθ≠0．
∴AN²=4+x²，CN²=4cos²θ+（$\sqrt{3}$sinθ-x）²，k_AN=$\frac{x}{2}$，k_CN=$\frac{\sqrt{3}sinθ-x}{2cosθ}$．
∵△ANC是以AC为斜边的等腰直角三角形，
∴AN=CN，即4+x²=4cos²θ+（$\sqrt{3}$sinθ-x）²，
整理得sinθ+2$\sqrt{3}$x=0，∴x=-$\frac{sinθ}{2\sqrt{3}}$．
又AN⊥CN，即k_AN•k_CN=-1．
∴$\frac{x-\sqrt{3}sinθ}{2cosθ}=\frac{2}{x}$，即x²-$\sqrt{3}$x•sinθ=4cosθ，
把x=-$\frac{sinθ}{2\sqrt{3}}$代入上式得$\frac{7}{12}si{n}^{2}θ$=4cosθ，即7-7cos²θ=48cosθ，
解得cosθ=$\frac{1}{7}$，∴sinθ=±$\frac{4\sqrt{3}}{7}$．
∴x=±$\frac{2}{7}$．
∴C点坐标为（0，$\frac{2}{7}$）或（0，-$\frac{2}{7}$）．

点评 本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．