Question

9．已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（x）在x∈[4，12]上的最大值为c，且C=$\frac{π}{3}$．求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数y=f（x）的解析式．
（Ⅱ）在△ABC中，由条件求出c，再利用余弦定理求得ab的最大值为1，可得△ABC的面积为$\frac{1}{2}$ab•sinC 的最大值．

解答 解：（Ⅰ）根据函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜$\frac{π}{2}$）的图象可得A=$\sqrt{2}$，$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{ω}$=6+2，∴ω=$\frac{π}{8}$．
再根据五点法作图可得-2×$\frac{π}{8}$+φ=0，∴φ=$\frac{π}{4}$，∴f（x）=$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{8}$x+$\frac{π}{4}$）．
（Ⅱ）在△ABC中，f（x）=$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{8}$x+$\frac{π}{4}$）在x∈[4，12]上的最大值为c=1（此时，x=4）．
由C=$\frac{π}{3}$，利用余弦定理可得c²=1=a²+b²-2ab•cosC≥2ab-ab=ab，当且仅当a=b时，取等号，
故ab的最大值为1．
则△ABC的面积为$\frac{1}{2}$ab•sinC=$\frac{1}{2}$×ab×$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤$\frac{\sqrt{3}}{4}$，故△ABC的面积的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值．还考查了余弦定理、基本不等式的应用，属于中档题．