Question

20．用定义证明：函数f（x）=x+$\frac{2}{x}$在（$\sqrt{2}$，+∞）上是增函数．

Answer 1

分析 根据增函数的定义，设任意的${x}_{1}＞{x}_{2}＞\sqrt{2}$，然后通过作差f（x₁）-f（x₂），可提取公因式x₁-x₂，根据条件从而证明f（x₁）＞f（x₂），这样便可得出f（x）在（$\sqrt{2}$，+∞）上为增函数．

解答 证明：设${x}_{1}＞{x}_{2}＞\sqrt{2}$，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）={x}_{1}+\frac{2}{{x}_{1}}-{x}_{2}-\frac{2}{{x}_{2}}$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-\frac{2}{{x}_{1}{x}_{2}}）$；
∵${x}_{1}＞{x}_{2}＞\sqrt{2}$；
∴x₁-x₂＞0，x₁x₂＞2；
∴$1-\frac{2}{{x}_{1}{x}_{2}}＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在$（\sqrt{2}，+∞）$上是增函数．

点评 考查增函数的定义，以及根据增函数的定义证明一个函数为增函数的方法和过程，作差比较f（x₁），f（x₂）大小的方法，一般在作差后需提取公因式x₁-x₂．