【题目】已知函数f(x)= .
(1)求证:f(x)+f(1﹣x)= ;
(2)设数列{an}满足an=f(0)+f( )+f( )+…+f( )+f(1),求an;
(3)设数列{an}的前项n和为Sn , 若Sn≥λan(n∈N*)恒成立,求实数λ的取值范围.
【答案】
(1)证明:∵ ,
∴
(2)解:由(1)知 ,
故 ,
,
又 ,
两式相加得 ,
∴
(3)解:由(2)知 ,∴ ,
∴数列{an}是一个等差数列,
∴ ,
,
又∵ 在n∈N*上为递增的函数,∴当n=1时 ,
则 恒成立,实数λ的取值范围为(﹣∞,1]
【解析】( 1)由于 ,计算f(x)+f(1﹣x)即可证明.(2)由(1)知 ,利用“倒序相加”即可得出.(3)由(2)知 ,可得 ,利用等差数列的求和公式可得Sn , 代入Sn≥λan(n∈N*)化简,利用数列的单调性即可得出.
【考点精析】认真审题,首先需要了解数列的前n项和(数列{an}的前n项和sn与通项an的关系).
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【题目】已知等比数列{an}的各项均为正数,且a1a100+a3a98=8,则log2a1+log2a2+…+log2a100=( )
A.10
B.50
C.100
D.1000
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【题目】已知数列{an}是各项为正数的等比数列,且a2=9,a4=81.
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)若bn=log3an , 求证:数列{bn}是等差数列.
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【题目】为了了解2013年某校高三学生的视力情况,随机抽查了一部分学生视力,将调查结果分组,分组区间为,,… ,经过数据处理,得到如右频率分布表:
(1)求频率分布表中未知量的值;
(2)从样本中视力在和的所有同学中随机抽取两人,求两人的视力差的绝对值低于0.5的概率.
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【题目】已知椭圆: 的左、右焦点分别为,其离心率,以原点为圆心,椭圆的半焦距为半径的圆与直线相切.
(1)求的方程;
(2)过的直线交于两点, 为的中点,连接并延长交于点,若四边形的面积满足: ,求直线的斜率.
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【题目】下列说法中,正确的是( )
A. 简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样,与先后有关
B. 由生物学知道生男生女的概率均为,一对夫妇生两个孩子,则一定为一男一女
C. 互斥事件一定是对立事件,对立事件不一定是互斥事件
D. 老师在某班学号为1~50的50名学生中依次抽取学号为5,10,15,20,25,30,35,40,45,50的学生进行作业检查,这种抽样方法是系统抽样
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【题目】如图,直三棱柱中,各棱长均为6, 分别是侧棱、上的点,且.
(1)在上是否存在一点,使得平面?证明你的结论;
(2)求异面直线与所成角的余弦值.
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