Question

11．下列正确的是：（1）（3）（4）
（1）已知点F₁、F₂分别为双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，若$\frac{{|{PF}_{2}|}^{2}}{|{PF}_{1}|}$的最小值为9a，则双曲线的离心率为5；
（2）L与F分别为同一平面内一条直线与一个定点，d为此平面内动点M到L的距离，若MF=d，则M点的轨迹是抛物线；
（3）过抛物线y²=2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|=$\frac{25}{12}$，|AF|＜|BF|，则|AF|=$\frac{5}{6}$；
（4）点P在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的面对角线BC₁上运动则三棱锥A-D₁PC的体积不变．

Answer 1

分析 （1）通过设|PF₁|=x（x≥c-a），进而|PF₂|=2a+x，利用$\frac{{|{PF}_{2}|}^{2}}{|{PF}_{1}|}$=$\frac{（2a+x）^{2}}{x}$=9a计算即得结论；
（2）当点P为直线L上的一点时显然不正确；
（3）设出点的坐标与直线的方程，利用抛物线的定义表示出|AF|、|BF|再联立直线与抛物线的方程利用根与系数的关系解决问题，即可得到答案；
（4）利用线面平行的性质即棱锥体积公式即得结论．

解答 解：（1）设|PF₁|=x（x≥c-a），
由椭圆定义可知|PF₂|=2a+x，
∴$\frac{{|{PF}_{2}|}^{2}}{|{PF}_{1}|}$=$\frac{（2a+x）^{2}}{x}$=9a，
解得：x=4a或x=a，
∴c=5a或c=2a，
∴离心率e=5或e=2（与最小为9a矛盾，舍去），
∴双曲线的离心率为5，故正确；
（2）当点P为直线L上的一点时显然不正确；
（3）由题意可得：F（$\frac{1}{2}$，0），设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
∵过抛物线y²=2x的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，
∴|AF|=$\frac{1}{2}$+x₁，|BF|=$\frac{1}{2}$+x₂，
∵|AB|=$\frac{25}{12}$，
∴x₁+x₂=$\frac{13}{12}$，
设直线l的方程为y=k（x-$\frac{1}{2}$）并与抛物线联立，
消去y、整理得：k²x²-（k²+2）x+$\frac{{k}^{2}}{4}$=0，
∴x₁+x₂=$\frac{{k}^{2}+2}{{k}^{2}}$，
∴$\frac{{k}^{2}+2}{{k}^{2}}$=$\frac{13}{12}$，
∴k²=24，
∴24x²-26x+6=0，
∴x₁=$\frac{1}{3}$，x₂=$\frac{3}{4}$，
∴|AF|=$\frac{1}{2}$+x₁=$\frac{5}{6}$，故正确；
（4）由题意知AD₁∥BC₁，从而BC₁∥平面AD₁C，
∴BC₁上任意一点到平面AD₁C的距离均相等，
∴以P为顶点，平面AD₁C为底面，则三棱锥A-D₁PC的体积不变，故正确；
故答案为：（1）、（3）、（4）．

点评 本题是一道关于圆锥曲线、空间几何体等的综合题，注意解题方法的积累，属于难题．