Question

已知a、b、c∈R，函数f（x）=x³-ax²+bx-c，f'（x）为f（x）的导函数．
（Ⅰ）若f'（x）的值域为[0，+∞），求a，b的关系式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）问的条件下，求目标函数z=2a-b的最大值；
（Ⅲ）若a∈Z，b∈Z且|b|＜2，f（x）在x=α，x=β处取得极值，且-1＜α＜0＜β＜1，试求方程f（x）=0的三个根两两不等时c的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f'（x）=3x²-2ax+b，由已知得3x²-2ax+b=0的判别式△=0，即得a，b的关系式；
（Ⅱ）由 z=2a-b得b=2a-z，为使z最大，只需-z最小．在坐标系aOb中，抛物线b=

1

3

a2和直线b=2a-z相切时满足条件即可求出z的最大值；
（III）由已知f′（x）=3x²-2ax+b=0有两个不等的实根α，β，因为-1＜α＜0＜β＜1，根据实根分布，列出关于c的不等关系，解之得此方程三个根两两不等时c的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=3x²-2ax+b，由已知得3x²-2ax+b=0的判别式△=0
得b=

1

3

a2．…（4分）．
（Ⅱ）由 z=2a-b得b=2a-z，为使z最大，只需-z最小．
在坐标系aOb中，抛物线b=

1

3

a2和直线b=2a-z相切时满足条件．
令切点M（m，n）.b′=

2

3

a，由

2

3

a=2得a=3，则M（3，3）．
所以z的最大值等于2×3-3=3．…（8分）
（Ⅲ）令f（x）=x³-ax²+bx-c，要f（x）=0有三个不等的实数根，
则函数f（x）有一个极大值和一个极小值，且极大值大于0，极小值小于0．
由已知，得f'（x）=3x²-2ax+b=0有两个不等的实根α，β．
∵-1＜α＜0＜β＜1．
∴

3+2a+b＞0…(1) b＜0…(2) 3-2a+b＞0…(3)

，由(1)、(3)得b＞-3．
又|b|＜2，b＜0，
∴b=-1代入（1）（3）得a=0．
∴f′(x)=3x2-1，则α=-

3

3

，β=

3

3

，且f(x)在x=-

3

3

处取得极大值，
在x=

3

3

处取得极小值．故f（x）=0要有三个两两不等的实数根，
则必须

f(- 3 3 )＞0 f( 3 3 )＜0.

得-

2 3

9

＜c＜

2 3

9

．…（14分）

点评：本小题主要考查简单线性规划、函数在某点取得极值的条件、一元二次方程的根的分布与系数的关系、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题．