Question

【题目】已知数列是无穷数列，其前n项，，中的最大项记为，第n项之后的所有项，，，中的最小项记为数列满足．

（1）若，求的通项公式；

（2）若，，求数列的通项公式

（3）判断命题“是常数列的充分不必要条件是为递增的等差数列”的真假，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）见解析

【解析】

（1）根据通项的二次函数性，可知当时，单调递增且，从而得到，整理可得结果；

（2）由可求得，继续代入，求得，以此类推可求得结果；

（3）若是递增的等差数列，可知，充分性得证；若是常数列，存在为常数列的情况，必要性不成立，从而可知原命题为真.

（1）由，可得：，当时单调递增

则

（2），，可得： ，即，

，，

（3）命题“是常数列的充分不必要条件是为递增的等差数列”为真命题

理由如下：

若是递增的等差数列，设公差为

则，

即有是常数列 充分条件成立

若是常数列，可设为常数

若可得：，即有为常数列，是不单调数列 必要条件不成立

综上可得：是常数列的充分不必要条件是为递增的等差数列