【题目】在平面直角坐标系中,已知,
,动点
满足
,设动点
的轨迹为曲线
.
(1)求动点的轨迹方程,并说明曲线
是什么图形;
(2)过点的直线
与曲线
交于
两点,若
,求直线
的方程;
(3)设是直线
上的点,过
点作曲线
的切线
,切点为
,设
,求证:过
三点的圆必过定点,并求出所有定点的坐标.
【答案】(1)动点的轨迹方程为
,曲线
是以
为圆心,2为半径的圆(2)
的方程为
或
.(3)证明见解析,所有定点的坐标为
,
【解析】
(1)利用两点间的距离公式并结合条件,化简得出曲线
的方程,根据曲线
方程的表示形式确定曲线
的形状;
(2)根据几何法计算出圆心到直线的距离,对直线
分两种情况讨论,一是斜率不存在,一是斜率存在,结合圆心到直线的距离
求出直线的斜率,于此得出直线
的方程;
(3)设点的坐标为
,根据切线的性质得出
,从而可得出过
、
、
三点的圆的方程,整理得出
,然后利用
,解出方程组可得出所过定点的坐标.
(1)由题意得,化简可得:
,
所以动点的轨迹方程为
.
曲线是以
为圆心,
为半径的圆;
(2)①当直线斜率不存在时,
,不成立;
②当直线的斜率存在时,设
,即
,
圆心到
的距离为
∵
∴, 即
,解得
或
,
∴的方程为
或
;
(3)证明:∵在直线
上,则设
∵为曲线
的圆心,由圆的切线的性质可得
,
∴经过的三点的圆是以
为直径的圆,
则方程为,
整理可得,
令,且
,
解得或
则有经过三点的圆必过定点,所有定点的坐标为
,
.
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【题目】从某工厂生产线上随机抽取16件零件,测量其内径数据从小到大依次排列如下(单位:):1.12,1.15,1.21,1.23,1.25,1.25,1.26,1.30,1.30,1.32,1.34,1.35,1.37,1.38,1.41,1.42,据此可估计该生产线上大约有25%的零件内径小于等于_____
,大约有30%的零件内径大于_____
.
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【题目】已知椭圆 (a>b>0)的左、右焦点分别为F1 , F2 , 过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A、B两点,直线AF2与椭圆的另一个交点为C,若△ABF2的面积是△BCF2的面积的2倍,则椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】已知两个定点,动点
满足
.设动点
的轨迹为曲线
,直线
.
(1)求曲线的轨迹方程;
(2)若与曲线
交于不同的
两点,且
(
为坐标原点),求直线
的斜率;
(3)若,
是直线
上的动点,过
作曲线
的两条切线
,切点为
,探究:直线
是否过定点.
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【题目】如图,已知抛物线x2=y,点A(﹣ ,
),B(
,
),抛物线上的点P(x,y)(﹣
<x<
),过点B作直线AP的垂线,垂足为Q.
(Ⅰ)求直线AP斜率的取值范围;
(Ⅱ)求|PA||PQ|的最大值.
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【题目】已知{an}为等差数列,前n项和为Sn(n∈N+),{bn}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4﹣2a1 , S11=11b4 .
(Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{a2nb2n﹣1}的前n项和(n∈N+).
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【题目】已知函数f(x)=sin2x﹣cos2x﹣2 sinx cosx(x∈R).
(Ⅰ)求f( )的值.
(Ⅱ)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.
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