Question

若数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意正整数n都有6S_n=1-2a_n，记b_n=log

1

2

a_n．
（Ⅰ）求a₁，a₂的值；
（Ⅱ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）令c_n=

n+1

(n+2)2(bn-1)2

，数列{c_n}的前n项和为T_n，证明：对于任意的n∈N^*，都有T_n＜

5

64

．

Answer 1

考点：数列的求和,对数的运算性质,数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由6S₁=2-a₁，得a1=

1

8

，由6S₂=1-2a₂，得a₂=

1

32

．
（Ⅱ）由6S_n=1-2a_n，得6S_n-1=1-2a_n-1，从而

an

an-1

=

1

4

，进而an=

1

8

•(

1

4

)n-1=(

1

2

)2n+1，由此求出bn=log

1

2

(

1

2

)2n+1=2n+1．
（Ⅲ）由c_n=

n+1

(n+2)2(bn-1)2

=

n+1

(n+2)2(2n)2

=

1

1+16

[

1

n2

-

1

(n+2)2

]，利用裂项法求出T_n=

1

16

[1+

1

22

-

1

(n+1)2

-

1

(n+2)2

]＜

1

16

(1+

1

22

)=

5

64

．由此能证明对于任意的n∈N^*，都有T_n＜

5

64

．

解答： 解：（Ⅰ）由6S₁=2-a₁，得6a₁=1-2a₁，解得a1=

1

8

．…（1分）
6S₂=1-2a₂，得6（a₁+a₂）=1-2a₂，解得a₂=

1

32

．…（3分）
（Ⅱ）由6S_n=1-2a_n，…①，
当n≥2时，有6S_n-1=1-2a_n-1，…②，…（4分）
①-②得：

an

an-1

=

1

4

，…（5分）
∴数列{a_n}是首项a1=

1

8

，公比q=

1

4

的等比数列，…（6分）
∴an=

1

8

•(

1

4

)n-1=

1

2

•(

1

4

)n=(

1

2

)2n+1．…（7分）
∵b_n=log

1

2

a_n，∴bn=log

1

2

(

1

2

)2n+1=2n+1．…（8分）
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）有：
c_n=

n+1

(n+2)2(bn-1)2

=

n+1

(n+2)2(2n)2

=

1

1+16

[

1

n2

-

1

(n+2)2

]．…（10分）
∴T_n=

1

16

[1-

1

32

+

1

22

-

1

42

+

1

32

-

1

52

+…+

1

(n-1)2

-

1

(n+1)2

+

1

n2

-

1

(n+2)2

]（12分）
=

1

16

[1+

1

22

-

1

(n+1)2

-

1

(n+2)2

]…（13分）
＜

1

16

(1+

1

22

)=

5

64

．
∴对于任意的n∈N^*，都有T_n＜

5

64

．…（14分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项法的合理运用．