Question

20．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的焦距为2．且经过点（${\frac{2}{3}$，$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}}$）．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过点D（4，O）的直线l与C交于不同的两点A，B，且A在DB之间，试求△AOD与△BOD面积之比的取值范围．

Answer 1

分析 （I）由题意可得：2c=2，$\frac{4}{9{a}^{2}}+\frac{24}{9{b}^{2}}$=1，又a²=b²+c²，联立解出即可得出．
（II）由题意可设直线l的方程为：x=my+4，代入椭圆方程可得：（3m²+4）y²+2my+36=0，由△＞0，解得m²＞4．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．令λ=$\frac{{S}_{△AOD}}{{S}_{△BOD}}$=$\frac{\frac{1}{2}|OD||{y}_{1}|}{\frac{1}{2}|OD||{y}_{2}|}$=$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$，λ∈（0，1）．把y₁=λy₂代入根与系数的关系，解得：m²=$\frac{4（λ+1）^{2}}{10λ-3{λ}^{2}-3}$＞4，解出即可得出．

解答 解：（I）∵椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的焦距为2，且经过点（${\frac{2}{3}$，$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}}$），
∴2c=2，$\frac{4}{9{a}^{2}}+\frac{24}{9{b}^{2}}$=1，又a²=b²+c²，联立解得a=2，c=1，b²=3．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（II）由题意可设直线l的方程为：x=my+4，代入椭圆方程可得：（3m²+4）y²+24my+36=0，由△＞0，解得m²＞4．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．∴y₁+y₂=$\frac{-24m}{3{m}^{2}+4}$，y₁y₂=$\frac{36}{3{m}^{2}+4}$，（*），
令λ=$\frac{{S}_{△AOD}}{{S}_{△BOD}}$=$\frac{\frac{1}{2}|OD||{y}_{1}|}{\frac{1}{2}|OD||{y}_{2}|}$=$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$，λ∈（0，1）．
把y₁=λy₂代入（*）可得：$\frac{（λ+1）^{2}}{λ}$=$\frac{16{m}^{2}}{3{m}^{2}+4}$，解得：m²=$\frac{4（λ+1）^{2}}{10λ-3{λ}^{2}-3}$＞4，
则λ≠1，且3λ²-10λ+3＜0，解得$\frac{1}{3}＜λ＜1$，
∴△AOD与△BOD面积之比的取值范围是$（\frac{1}{3}，1）$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、三角形面积计算公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．