Question

【题目】如图，一条小河岸边有相距的两个村庄（村庄视为岸边上两点），在小河另一侧有一集镇（集镇视为点），到岸边的距离为，河宽为，通过测量可知，与的正切值之比为．当地政府为方便村民出行，拟在小河上建一座桥（分别为两岸上的点，且垂直河岸，在的左侧），建桥要求：两村所有人到集镇所走距离之和最短，已知两村的人口数分别是人、人，假设一年中每人去集镇的次数均为次．设．（小河河岸视为两条平行直线）

（1）记为一年中两村所有人到集镇所走距离之和，试用表示；

（2）试确定的余弦值，使得最小，从而符合建桥要求．

Answer 1

【答案】（1），；（2）当时，符合建桥要求.

【解析】

（1）利用正切值之比可求得，；根据可表示出和，代入整理可得结果；（2）根据（1）的结论可得，利用导数可求得时，取得最小值，得到结论.

（1）与的正切值之比为

则，

，

，

，

（2）由（1）知：，

，

令，解得：

令，且

当时，，；当时，，

函数在上单调递减；在上单调递增；

时，函数取最小值，即当时，符合建桥要求