Question

已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过点M（4，1），N（2，2）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若斜率为I的直线l与椭圆C交于不同的两点，且点M到直线l的距离为

2

，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设椭圆C的方程为mx²+ny²=1，（m＞0，n＞0，m≠n），由椭圆经过点M（4，1），N（2，2），利用待定系数法能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）设l：y=x+m，联立

x2+4y2=20 y=x+m

，得5x²+8mx+4m²-20=0，由点到直线的距离公式能求出直线l的方程．

解答： 解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为mx²+ny²=1，（m＞0，n＞0，m≠n），
∵椭圆经过点M（4，1），N（2，2），
∴

16m+n=1 4m+4n=1

，解得m=

1

20

，n=

1

5

，
∴椭圆C的方程为

x2

20

+

y2

5

=1．
（Ⅱ）设l：y=x+m，
联立

x2+4y2=20 y=x+m

，得5x²+8mx+4m²-20=0，
则△=-16m²+400＞0，解得-5＜m＜5，
又∵点M到直线l的距离为

2

，
∴点M到直线l的距离d=

|m+3|

2

=

2

，解得m=-1，
∴直线l的方程为x-y-1=0．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要注意待定系数法和点到直线的距离公式的合理运用．