Question

18．设抛物线E：y²=4x的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作l的垂线，垂足为A，设B（7，0），PF与AB交于点C，若△PBC的面积为2$\sqrt{2}$，则|PC|：|CF|=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由题意设|PC|：|CF|=1：t，由抛物线的焦半径公式比例关系求得P点坐标，则S_△PFB=（1+t）2$\sqrt{2}$，根据三角形的面积公式，列方程即可求得t的值．

解答 解：设抛物线E：y²=4x的焦点为F（1，0），准线x=-1，设P（x_P，y_P），
设|PC|：|CF|=1：t，则t丨PC丨=丨CF丨，丨AP丨=丨PF丨=x_P+1，
由AB∥x轴，则丨AP丨：丨FB丨=|PC|：|CF|=$\frac{1}{t}$，即$\frac{1+{x}_{P}}{7-1}$=$\frac{1}{t}$，
则x_P=$\frac{6-t}{t}$，y_P=2$\sqrt{\frac{6-t}{t}}$，
由|PC|：|CF|=1：t，则S_△PBC：S_△FBC=1：t，
∴S_△PFB=（1+t）2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{1}{2}$×丨FB丨×y_P=（1+t）2$\sqrt{2}$，即$\frac{1}{2}$×6×2$\sqrt{\frac{6-t}{t}}$=（1+t）2$\sqrt{2}$，
整理得：2t³+4t²+11t-54=0，解得：t=2，
∴|PC|：|CF|=$\frac{1}{2}$，
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查抛物线的性质，考查相似三角形的性质，考查数形结合思想，考查计算能力，属于中档题．