Question

9．已知棱长为2，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积和体积．

Answer 1

分析 由等边三角形的面积计算公式可得：△SAB的面积=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×2²．即可得出四面体S-ABC的表面积．设O为△ABC的中心，延长AO交BC于点D，连接SO，SD，则SO⊥底面ABC，D为BC的中点．可得AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a=SD，OD=$\frac{1}{3}$AD，AO=$\sqrt{S{D}^{2}-O{D}^{2}}$．利用V_S-ABC=$\frac{1}{3}$•S_△ABC×SO即可得出．

解答 解：如图所示，
由等边三角形的面积计算公式可得：△SAB的面积=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×2²．
∴四面体S-ABC的表面积为4×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×2²=4$\sqrt{3}$．
设O为△ABC的中心，延长AO交BC于点D，连接SO，SD，则SO⊥底面ABC，D为BC的中点．
∴AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×2=$\sqrt{3}$=SD，OD=$\frac{1}{3}$AD=$\frac{\sqrt{3}}{6}$×2=$\sqrt{3}$，
∴AO=$\sqrt{S{D}^{2}-O{D}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
∴V_S-ABC=$\frac{1}{3}$•S_△ABC×SO=$\frac{1}{3}$×$\sqrt{3}$4×$\frac{2\sqrt{6}}{3}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查了等边三角形的性质及其面积计算公式、正三棱锥的性质、线面垂直的判定与性质定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．