Question

19．已知圆C：（x+1）²+y²=8，点A（1，0），P是圆C上任意一点，线段AP的垂直平分线交CP于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）若直线l：y=kx+m与曲线E相交于M，N两点，O为坐标原点，求△MON面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据椭圆的定义和性质，建立方程求出a，b即可．
（2）联立直线和椭圆方程，利用消元法结合设而不求的思想进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）∵点Q 在线段AP 的垂直平分线上，∴|AQ|=|PQ|．
又|CP|=|CQ|+|QP|=2$\sqrt{2}$，∴|CQ|+|QA|=2$\sqrt{2}$＞|CA|=2．
∴曲线E是以坐标原点为中心，C（-1，0）和A（1，0）为焦点，长轴长为2$\sqrt{2}$ 的椭圆．
设曲线E 的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞b＞0）．
∵c=1，a=$\sqrt{2}$，∴b²=2-1=1．
∴曲线 E的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$ 消去y，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．
此时有△=16k²-8m²+8＞0．
由一元二次方程根与系数的关系，得x₁+x₂=$\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，．
∴|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{（\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}）^{2}-4×\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$$•\sqrt{8（2{k}^{2}-{m}^{2}+1）}$
∵原点O到直线l的距离d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$-，
∴S_△MON=$\frac{1}{2}|MN|•d$=$\frac{\sqrt{2}}{1+2{k}^{2}}$．$\sqrt{{m}^{2}（2{k}^{2}-{m}^{2}+1）}$，由△＞0，得2k²-m²+1＞0．
又m≠0，
∴据基本不等式，得S_△MON=$\frac{\sqrt{2}}{1+2{k}^{2}}$．$\sqrt{{m}^{2}（2{k}^{2}-{m}^{2}+1）}$≤$\frac{\sqrt{2}}{1+2{k}^{2}}$$•\frac{{m}^{2}+2{k}^{2}-{m}^{2}+1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
当且仅当m²=$\frac{2{k}^{2}+1}{2}$时，不等式取等号．
∴△MON面积的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查与椭圆有关的轨迹方程问题，以及直线和椭圆的位置关系的应用，利用消元法以及设而不求的数学思想是解决本题的关键．，运算量较大，有一定的难度．