Question

14．函数y=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$，x∈R）的部分图象如图所示，则函数表达式为（　　）

• A． y=-4sin（$\frac{π}{8}$x-$\frac{π}{4}$）
• B． y=-4sin（$\frac{π}{8}$x+$\frac{π}{4}$）
• C． y=4sin（$\frac{π}{8}$x-$\frac{π}{4}$）
• D． y=4sin（$\frac{π}{8}$x+$\frac{π}{4}$）

Answer 1

分析 方法一：由题意求得A，由T=16，ω=$\frac{2π}{T}$=$\frac{π}{8}$，将（6，0）代入方程根据诱导公式及|φ|＜$\frac{π}{2}$，即可求得φ的值，即可求得函数表达式；
方法二：观察函数的图象可得，函数的最小值-4，且在一周期内先出现最小值，所以A=-4，由图可得周期T=16，代入周期公式T=$\frac{2π}{ω}$可求ω；再把函数图象上的最值点代入结合已知φ的范围可得φ的值

解答 解：方法一：由函数的最大值为4，则丨A丨=4，
由$\frac{T}{2}$=6-（-2）=8，则T=16，
ω=$\frac{2π}{T}$=$\frac{π}{8}$，
∴y=4sin（$\frac{π}{8}$x+φ），
由图象过（6，0），则sin（$\frac{π}{8}$×6+φ）=0，即$\frac{π}{8}$×6+φ=2kπ，k∈Z，
∴φ=2kπ-$\frac{3}{4}$，φ=2kπ-$\frac{3}{4}$，则y=4sin（$\frac{π}{8}$x+2kπ-$\frac{3}{4}$）
=-4sin（π+（$\frac{π}{8}$x-$\frac{3}{4}$+2kπ））=-4sin（$\frac{π}{8}$x+$\frac{π}{4}$+2kπ），
当k=0时，φ=$\frac{π}{4}$，满足|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴函数的解析式y=-4sin（$\frac{π}{8}$x+$\frac{π}{4}$），
故选B．
方法二：若A＞0，由图象可知Asin（ωx+φ）在x=2，结合条件ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$，x∈R，不成立．
由函数的图象可得最大值为4，且在一周期内先出现最小值，
所以A=-4．
观察图象可得函数的周期T=16，ω=$\frac{2π}{T}$=$\frac{π}{8}$，
又函数的图象过（2，-4），代入可得sin（$\frac{π}{4}$+φ）=1
∴φ+$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{4}$，
∴函数的解析式y=-4sin（$\frac{π}{8}$x+$\frac{π}{4}$），
故选B．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．