Question

3．已知椭圆C₁：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，并且直线y=x+b是抛物线C₂：y²=4x的一条切线．
（Ⅰ）求椭圆C₁的方程．
（Ⅱ）设点A，B分别是椭圆C₁的左右顶点，F是椭圆C₁的左焦点．若过点P（-2，0）的直线与椭圆C₁相交于不同两点M，N．
①求证：∠AFM=∠BFN；②求△MFN面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将直线方程代入抛物线方程，由△=0，即可求得b的值，由椭圆的离心率公式，即可求得a的值，即可求得椭圆C₁的方程；
（Ⅱ）①由：当MN斜率为0时，显然∠AFM=∠BFN=0满足题意；当直线MN的斜率不为0时，设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式，即可求得k_MF=k_NF，则∠AFM=∠BFN；
②由①可知：根据弦长公式及三角形的面积公式，根据基本不等式的性质，即可求得△MFN面积的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}y=x+b\\{y^2}=4x\end{array}\right.$，得：x²+（2b-4）x+b²=0，由y=x+b是抛物线C₂的一条切线，
∴△=（2b-4）²-4b²=0，得b=1，
由e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，可得 $a=\sqrt{2}$．
∴椭圆C₁的方程为：$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．
（Ⅱ）①证明：当MN斜率为0时，显然∠AFM=∠BFN=0满足题意；
当MN斜率不为0时，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的方程为：x=my-2
$\left\{\begin{array}{l}{x=my-2}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（m²+2）y²-4my+2=0，
则∴△=16m²-8（m²+2）=8m²-16＞0，
∴m²＞2，
${y_1}+{y_2}=\frac{4m}{{{m^2}+2}}，{y_1}{y_2}=\frac{2}{{{m^2}+2}}$，
所以，${k_{MF}}+{k_{NF}}=\frac{y_1}{{{x_1}+1}}+\frac{y_2}{{{x_2}+1}}=\frac{y_1}{{m{y_1}-1}}+\frac{y_2}{{m{y_2}-1}}$=$\frac{{2m{y_1}{y_2}-（{y_1}+y_2^{\;}）}}{{（m{y_1}-1）（m{y_2}-1）}}=\frac{{2m•\frac{2}{{{m^2}+2}}-\frac{4m}{{{m^2}+2}}}}{{（m{y_1}-1）（m{y_2}-1）}}=0$，即∠AFM=∠BFN．
②${S_{△MNF}}=|{{S_{△PNF}}-{S_{△PMF}}}|=\frac{1}{2}|{PF}||{{y_1}-{y_2}}|$=$\frac{1}{2}×1×\frac{{\sqrt{8{m^2}-16}}}{{{m^2}+2}}=\frac{{\sqrt{2（{m^2}-2）}}}{{（{m^2}-2）+4}}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{{m^2}-2}+\frac{4}{{\sqrt{{m^2}-2}}}}}≤\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，
当且仅当 $\sqrt{{m^2}-2}=\frac{4}{{\sqrt{{m^2}-2}}}$，即m²=6时取等号．
∴△MNF面积最大值是$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，直线的斜率公式及基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题．