Question

4．已知函数f（x）=|2x-1|．
（1）求不等式f（x）+|x+1|＜2的解集；
（2）若函数g（x）=f（x）+f（x-1）的最小值为a，且m+n=a（m＞0，n＞0），求$\frac{4}{m}+\frac{1}{n}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用零点分段去掉绝对值，即可求解．
（2）求出函数g（x）的最小值，可得a，利用“乘1”法和基本不等式可得$\frac{4}{m}+\frac{1}{n}$的最小值．

解答 解：函数f（x）=|2x-1|．
（1）那么f（x）+|x+1|＜2，即|2x-1|+|x+1|＜2的解集；
当$x≥\frac{1}{2}$时，可得：3x＜2，得：x$＜\frac{2}{3}$，∴$\frac{1}{2}≤x＜\frac{2}{3}$．
当$-1≤x＜\frac{1}{2}$时，可得：2-x＜2，得：x＞0，∴$0＜x＜\frac{1}{2}$．
当x＜-1时，可得：-3x＜2，得：x$＞-\frac{2}{3}$，∴x=∅．
综上可得不等式f（x）+|x+1|＜2的解集为{x|$0＜x＜\frac{2}{3}$}
（2）函数g（x）=f（x）+f（x-1）
即：g（x）=|2x-1|+|2（x-1）-1|=|2x-1|+|2x-3|≥|2x-1-2x+3|=2
g（x）的最小值为a，即a=2．
那么m+n=2，可得$\frac{m}{2}+\frac{n}{2}=1$
则（$\frac{4}{m}+\frac{1}{n}$）（$\frac{m}{2}+\frac{n}{2}$）=2+$\frac{1}{2}$+$\frac{2n}{m}+\frac{m}{2n}$≥2$\sqrt{\frac{2n}{m}×\frac{m}{2n}}$+2$+\frac{1}{2}$=$\frac{9}{2}$
当且仅当m=2n，即，m=$\frac{4}{3}$，n=$\frac{2}{3}$时，取等号．
∴$\frac{4}{m}+\frac{1}{n}$的最小值为$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查了绝对值的解法以及基本不等式性质的运用．属于中档题．