练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    14．如图，在△A BC中，三内角 A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2=b2+c2+bc，$a=\sqrt{3}$，S为△A BC的面积，圆 O是△A BC的外接圆，P是圆 O上一动点，
    （1）求$S+\sqrt{3}cos{B}cosC$取得最大值；
    （2）当B=30°时，求$\overrightarrow{{P}{A}}•\overrightarrow{{P}{B}}$的最大值．

    分析 （1）根据余弦定理和和正弦定理以及两角差的余弦公式和三角函数的性质即可求出，
    （2）方法一：利用向量的数量积以及三角函数的性质即可求出，
    方法二，建立坐标系，利用向量的坐标运算即可求出

    解答 解：（1）由a2=b2+c2+bc，
    ∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=-$\frac{1}{2}$，
    ∵0°＜A＜180°，
    ∴A=120°
    由正弦定理：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$⇒b=2sinB，c=2sinC
    ∴$S+\sqrt{3}cos{B}cosC$=$\frac{1}{2}bcsinA+$$\sqrt{3}cos{B}cosC$=$\sqrt{3}sinBsinC+\sqrt{3}cos{B}cosC$=$\sqrt{6}$cos（B-C）≤$\sqrt{6}$，
    当且仅当B=C时取等号，
    ∴$S+\sqrt{3}cos{B}cosC$最大值为$\sqrt{6}$；
    （2）方法一：当B=30°时，△A BC为等腰三角形，
    $\overrightarrow{{P}{A}}•\overrightarrow{{P}{B}}$═$（\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OA}）•（\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OB}）={\overrightarrow{PO}^2}+\overrightarrow{PO}•（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）+\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=1+2$\overrightarrow{PO}•\overrightarrow{OD}$+$\frac{1}{2}$（其中D为AB的中点）
    =$\frac{3}{2}+2|{\overrightarrow{PO}}||{\overrightarrow{OD}}|cos＜\overrightarrow{PO}，\overrightarrow{OD}＞$≤$\frac{3}{2}+2×1×\frac{{\sqrt{3}}}{2}×1=\frac{3}{2}+\sqrt{3}$
    法二：以O为原点，OA为半轴，建立平面直角坐标系，则$A（0，1），B（-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}）$，
    设P（cosθ，sinθ），则$\overrightarrow{PA}$=（-cosθ，1-sinθ），$\overrightarrow{PB}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$-cosθ，$\frac{1}{2}$-sinθ），
    ∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=cos2θ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ+sin2θ-$\frac{3}{2}$sinθ+$\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$（$\frac{1}{2}$cosθ-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinθ）+$\frac{3}{2}$=$\sqrt{3}$cos（θ+$\frac{π}{3}$）+$\frac{3}{2}$≤$\sqrt{3}$+$\frac{3}{2}$
    当且仅当θ=$\frac{π}{6}$时取等号，
    ∴$\overrightarrow{{P}{A}}•\overrightarrow{{P}{B}}$的最大值为$\sqrt{3}$+$\frac{3}{2}$．

    点评 本题考查的知识点是正弦定理，余弦定理，向量的数量积运算，是三角函数与平面向量的综合应用，难度中档．

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    9．已知x，y，z为正实数，则$\frac{xy+yz}{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}$的最大值为（　　）
    A．$\frac{2\sqrt{3}}{5}$B．$\frac{\sqrt{2}}{2}$C．$\frac{4}{5}$D．$\frac{2}{3}$

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知$csinA=\sqrt{3}acosC$，（a-c）（a+c）=b（b-c），函数$f（x）=2sinxcos（\frac{π}{2}-x）-\sqrt{3}sin（π+x）cosx+sin（\frac{π}{2}+x）cosx$
    （1）求函数y=f（x）的周期和对称轴方程；
    （2）求f（B）的值．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    2．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示，若将f（x）图象上所有点向右平移$\frac{π}{12}$个单位得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调递减区间为（　　）
    A．[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈ZB．[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z
    C．[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈ZD．[kπ-$\frac{7π}{12}$，kπ-$\frac{π}{12}$]，k∈Z

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    9．已知集合A={x|2x＞1}，B={x|x2-3x-4＞0}，则∁R（A∪B）=（　　）
    A．{x|x≤0或x＞4}B．{x|x＜-1或x＞4}C．RD．{x|-1≤x≤0}

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    19．已知圆C：（x+1）2+y2=8，点A（1，0），P是圆C上任意一点，线段AP的垂直平分线交CP于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为曲线E．
    （1）求曲线E的方程；
    （2）若直线l：y=kx+m与曲线E相交于M，N两点，O为坐标原点，求△MON面积的最大值．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    6．我们知道，如果定义在某区间上的函数f（x）满足对该区间上的任意两个数x1，x2，总有不等式$\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}≤f（{\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}}）$成立，则称函数f（x）在该区间上的向上凸函数（简称上凸）．类比上述定义，对于数列{an}，如果对任意正整数n，总有不等式$\frac{{{a_n}+{a_{n+2}}}}{2}≤{a_{n+1}}$成立，则称数列{an}为向上凸数列（简称上凸数列），现有数列{an}满足如下两个条件：
    ①数列{an}为上凸数列，且a1=1，a10=28；
    ②对正整数n（1≤n＜10，n∈N*），都有|an-bn|≤20，其中${b_n}={n^2}-6n+10$，则数列{an}中的第三项a3的取值范围为[7，19]．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    3．若采用系统抽样方法从420人中抽取21人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，420，抽取的人的编号在区间[241，360]内的人数是（　　）
    A．7B．6C．5D．8

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    4．在《我是歌手》的比赛中，有6位歌手（1～6号）进入决赛，在决赛中由现场的百家媒体投票选出最受欢迎的歌手，各家媒体独立地在投票器上选出3位候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他一定不选2号，；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名．
    （1）求媒体甲选中5号且媒体乙未选中5号歌手的概率；
    （2）ξ表示5号歌手得到媒体甲，乙，丙的票数之和，求ξ的分布列及数学期望．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案