Question

7．下列各函数在其定义域中，既是奇函数，又是增函数的是（　　）

• A． y=x+1
• B． y=-x³
• C． y=-$\frac{1}{x}$
• D． y=x|x|

Answer 1

分析 根据奇函数图象的特点，减函数的定义，反比例函数在定义域上的单调性，奇函数的定义，二次函数的单调性便可判断每个选项的正误，从而找到正确选项．

解答 解：A．根据y=x+1的图象知该函数不是奇函数，∴该选项错误；
B．x增大时，-x³减小，即y减小，∴y=-x³为减函数，∴该选项错误；
C.$y=-\frac{1}{x}$在定义域上没有单调性，∴该选项错误；
D．y=x|x|为奇函数，$y=x|x|=\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}}&{x≥0}\\{-{x}^{2}}&{x＜0}\end{array}\right.$；
y=x²在[0，+∞）上单调递增，y=-x²在（-∞，0）上单调递增，且y=x²与y=-x²在x=0处都为0；
∴y=x|x|在定义域R上是增函数，即该选项正确．
故选：D．

点评 考查奇函数图象的对称性，减函数的定义，反比例函数在定义域上的单调性，含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，以及二次函数的单调性，分段函数单调性的判断．