Question

14．已知f（x）=$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）证明：当x＞0时f（x）＞0，当x＜0时f（x）＜0．

Answer 1

分析 （1）利用奇函数的定义即可判断；
（2）设x＜0，则-x＞0，利用条件即可证明．

解答 （1）解：函数的定义域为{x|x≠0}，
∵f（x）=$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-1}$，
∴f（-x）=$\frac{1}{2}$•$\frac{{2}^{-x}+1}{{2}^{-x}-1}$=-f（x），
∴f（x）是奇函数；
（2）证明：设x＜0，则-x＞0，
∵当x＞0时f（x）＞0，
∴f（-x）＞0，
∵f（x）是奇函数，
∴-f（x）＞0，
∴f（x）＜0．

点评 本题考查函数的奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，正确运用函数的奇偶性的定义是关键．