Question

2．已知函数f（x）=x（$\frac{1}{{x}^{2}-1}$+$\frac{1}{2}$）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）由x²-1≠0，可求函数f（x）的定义域；
（2）利用奇偶函数的定义判断函数f（x）的奇偶性．

解答 解：（1）由x²-1≠0，可得x≠±1，
∴函数f（x）的定义域为{x|x≠±1}；
（2）函数f（x）是奇函数．
f（x）=x（$\frac{1}{{x}^{2}-1}$+$\frac{1}{2}$）=x•$\frac{1}{2}$•$\frac{{x}^{2}+1}{{x}^{2}-1}$．
∴f（-x）=-x•$\frac{1}{2}$•$\frac{{x}^{2}+1}{{x}^{2}-1}$=-f（x），
∴函数f（x）是奇函数．

点评 本题考查函数的定义域，考查函数奇偶性的证明，考查学生分析解决问题的能力，正确运用奇函数的定义是关键．