Question

13．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=3，b=4，B=$\frac{π}{2}$+A．
（I）求tanB的值；
（Ⅱ）求c的值．

Answer 1

分析 （I）由正弦定理，诱导公式可得3cosA=4sinA，可得tanA的值，由已知及诱导公式即可求tanB的值．
（Ⅱ）由tanB=-$\frac{4}{3}$，利用同角三角函数基本关系式可求cosB，sinB，sinA，cosA，由两角和的余弦函数公式可求cosC的值，利用余弦定理即可求c的值．

解答 解：（I）∵a=3，b=4，B=$\frac{π}{2}$+A．
∴由正弦定理可得：$\frac{3}{sinA}=\frac{4}{sin（\frac{π}{2}+A）}$=$\frac{4}{cosA}$，
∴3cosA=4sinA，可得：tanA=$\frac{sinA}{cosA}$=$\frac{3}{4}$，
∴tanB=tan（$\frac{π}{2}$+A）=-$\frac{1}{tanA}$=-$\frac{4}{3}$．
（Ⅱ）∵tanB=-$\frac{4}{3}$．
∴cosB=-$\sqrt{\frac{1}{1+ta{n}^{2}B}}$=-$\frac{3}{5}$，sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{4}{5}$，sinA=sin（B-$\frac{π}{2}$）=-cosB=$\frac{3}{5}$，cosA=$\frac{4}{5}$，
∴cosC=-cos（A+B）=sinAsinB-cosAcosB=$\frac{3}{5}$×$\frac{4}{5}$-$\frac{4}{5}$×（-$\frac{3}{5}$）=$\frac{24}{25}$，
∴c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}-2abcosC}$=$\sqrt{9+16-2×3×4×\frac{24}{25}}$=$\frac{7}{5}$．

点评 本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式，两角和的余弦函数公式，正弦定理，余弦定理等知识在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．