Question

10．已知$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=1（a＞0，b＞0），则点（0，b）到直线3x-4y-a=0的距离的最小值是$\frac{9}{5}$．

Answer 1

分析 由点到直线的距离公式写出点（0，b）到直线3x-4y-a=0的距离，结合$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=1（a＞0，b＞0）利用基本不等式求最值．

解答 解：∵a＞0，b＞0，且$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=1，
∴点（0，b）到直线3x-4y-a=0的距离：
d=$\frac{|-4b-a|}{5}$=$\frac{1}{5}$（a+4b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）=$\frac{1}{5}$（5+$\frac{a}{b}$+$\frac{4b}{a}$）≥$\frac{1}{5}$（5+4）=$\frac{9}{5}$
当且仅当，即a=3，b=$\frac{3}{2}$时上式等号成立．
∴点（0，b）到直线x3x-4y-a=0的距离的最小值为$\frac{9}{5}$．
故答案为：$\frac{9}{5}$．

点评 本题考查了点到直线的距离公式，考查了利用基本不等式求最值，是中档题．