Question

10．已知定义域为R的奇函数f（x）的周期为4，且x∈（0，2）时f（x）=ln（x²-x+b），若函数f（x）在区间[-2，2]上恰有5个零点，则实数b应满足的条件是（　　）

• A． -1＜b≤1
• B． -1＜b＜1或b=$\frac{5}{4}$
• C． $\frac{1}{4}$＜b$≤\frac{5}{4}$
• D． $\frac{1}{4}$＜b≤1或b=$\frac{5}{4}$

Answer 1

分析 由题意知f（0）=f（-2）=f（2）=0，从而化为f（x）=ln（x²-x+b）在（0，2）上有且只有一个零点，从而可得b=$\frac{5}{4}$或-1＜b≤1，再结合x∈（0，2）时f（x）=ln（x²-x+b）解得．

解答 解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0，f（-2）=-f（2），
又∵f（x）的周期为4，
∴f（-2）=f（2），
∴f（-2）=f（2）=0，
∴f（x）=ln（x²-x+b）在（0，2）上有且只有一个零点，
∴方程x²-x+b=1在（0，2）上有且只有一个解，
∴b=-x²+x+1=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{4}$，
∴b=$\frac{5}{4}$或-1＜b≤1时，有且只有一个解，
1＜b＜$\frac{5}{4}$时，有两个解；
又∵x∈（0，2）时f（x）=ln（x²-x+b），
∴x∈（0，2）时，x²-x+b＞0恒成立，
∴b＞$\frac{1}{4}$；
∴$\frac{1}{4}$＜b≤1或b=$\frac{5}{4}$，
故选：D．

点评 本题考查了函数的奇偶性的应用及周期性的综合应用，同时考查了转化的思想应用．