Question

17．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x-1（x＞-1）}\\{{e}^{x}（x≤-1）}\end{array}\right.$，若a＜b，f（a）=f（b），则实数a-2b的取值范围为（　　）

• A． $（{-∞，\frac{1}{e}-1}）$
• B． $（{-∞，-\frac{1}{e}}）$
• C． $（{-∞，-\frac{1}{e}-2}）$
• D． $（{-∞，-\frac{1}{e}-2}]$

Answer 1

分析 画出函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x-1（x＞-1）}\\{{e}^{x}（x≤-1）}\end{array}\right.$的图象，结合a＜b，且f（a）=f（b），表示出a-2b，利用导数法求出其上确界，可得答案．

解答 解：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x-1（x＞-1）}\\{{e}^{x}（x≤-1）}\end{array}\right.$的图象如下图所示：

若a＜b，f（a）=f（b），
则2b-1=e^a，则a-2b=a-e^a-1，a≤-1，
令y=a-e^a-1，a≤-1，
则y′=1-e^a，a≤-1，
此时e^a≤

1

e

，则y′＞0恒成立，
故y=a-e^a-1＜y|_a=-1=-

1

e

-2，
即实数a-2b的取值范围为（-∞，-

1

e

-2），
故选：D．

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，根据已知画出函数f（x）的图象，是解答的关键．