Question

【题目】函数f（x）= 是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（ ）= ．
（1）确定函数f（x）的解析式；
（2）用定义证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数；
（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意得 ，

由此可解得 ，

∴ ．

（2）证明：设﹣1＜x1＜x2＜1，

则有 ，

∵﹣1＜x1＜x2＜1，∴x1﹣x2＜0， ， ，1﹣x1x2＞0，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x）在（﹣1，1）上是增函数．

（3）f（t﹣1）+f（t）＜0，

∴f（t﹣1）＜﹣f（t），即f（t﹣1）＜f（﹣t），

∵f（x）在（﹣1，1）上是增函数，

∴﹣1＜t﹣1＜﹣t＜1，

解之得 ．

【解析】(1)由待定系数法可求出函数的解析式。（2)根据函数增减性的定义证明即可。（3）整理化简原式由函数的奇偶性以及函数的单调性可得到关于t的不等式解出即可。
【考点精析】本题主要考查了函数单调性的判断方法的相关知识点，需要掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较才能正确解答此题．